费马大定理
劇情簡介
本片从证明了费玛最後定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles開始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的歷史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的時候，当時完全沒有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认為，一位真正的研究者，自然而然地会被數学吸引，然而对一位不是天才的学生来說，他需要的是老师的指引，引導他走向更高深的專業认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛最後定理的歷史中可以發现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧熱情，試圖提出「有趣」的命题，然後再尝試用逻輯验证。 费玛最後定理：xnynzn 当 n>2 時，不存在整數解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本書吸引，「最後问题 The Last Problem」，故事从这里開始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方另外两边的平方和 x2y2z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整數解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番圖 Diophantus 的「算數」第2卷的问题8時，在頁边写下了註記 「不可能将一个立方數写成两个立方數之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来說，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了載有Fermat註記的「丢番圖的算數」 5. 在Fermat的其他註記中，隱含了对 n4 的证明 > n8, 12, 16, 20 ... 時無解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n3 時無解 > n6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，现在只要证明费玛最後定理对於所有的質數都成立 但 欧基里德 证明「存在無穷多个質數」 6. 1776年 索菲‧熱尔曼 针对 (2p1)的質數，证明了 费玛最後定理 "大概" 無解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸熱尔曼的证明，证明了 n5 無解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n7 無解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同時宣称已经证明了 费玛最後定理 最後是刘維尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，說科西与拉梅的证明，都因為「虚數沒有唯一因子分解性質」而失敗 库默尔证明了 费玛最後定理的完整证明 是当時數学方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最後定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出數学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 > 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系統是相容的构造性过程。 > 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 發展了可以檢验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少數情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「連續統假設」问题是不可判定的，这对於费玛最後定理来說是一大打擊 14.1940年 阿伦‧圖灵 Alan Turing 發明破译 Enigma編码 的反轉机 開始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最後定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4y4z4w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 268244041536563941879604206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲線 研究椭圆曲線的目的是要算出他们的整數解，这跟费玛最後定理一样 ex: y2x3-2 只有一组整數解 5233-2 (费玛证明宇宙中指存在一个數26，他是夹在一个平方數与一个立方數中间) 由於要直接找出椭圆曲線是很困难的，為了簡化问题，數学家採用「時鐘运算」方法 在五格時鐘运算中， 421 椭圆方程式 x3-x2y2y 所有可能的解為 (x, y)(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E54 来代表在五格時鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲線，可写出一个 E序列 E11, E24, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1開始標号到無穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个數 可写成 M11 M23 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲線的 E序列，两个不同领域的理论突然被連接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计畫，一个統一化猜想的理论，并開始寻找統一的环鏈 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假設费玛最後定理是錯的，则 xnynzn 有整數解，则可将方程式轉换為y2x3(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是錯誤的 反过来說 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xnynzn 沒有整數解 (4) 费玛最後定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式無法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最後定理也是正確的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 開始一个小阴谋，他每隔6个月發表一篇小论文，然後自己独力尝試证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 發表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但結果失敗 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成無限多项，然後也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝試利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但結果失敗 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分類後的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，開始对验证证明 26.1993年5月 「L-函數和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 發表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 發现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又開始隱居，尝試独力解决缺陷，他不希望在这時候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 發现結合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最後定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法國數学家费马在一本書的空白處写下了一个定理：“設n是大于2的正整數，则不定方程xnynzn沒有非零整數解”。 费马宣称他發现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因書上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少專業數学家和業余數学爱好者绞尽脑汁企圖证明它，但不是無功而返就是進展甚微。这就是纯數学中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年1665年)是一位具有传奇色彩的數学家，他最初学习法律并以当律师谋生，後来成為议会议员，數学只不过是他的業余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真註意數学，但费马对數论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同時创立了解析几何，同時又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特別爱好數论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要點，其他定理除一个被证明是錯的，一个未被证明外，其余的陸續被後来的數学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所說的费马大定理，因為是最後一个未被证明对或錯的定理，所以又称為费马最後定理。 费马大定理虽然至今仍沒有完全被证明，但已经有了很大進展，特別是最近几十年，進展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素數费马大定理都成立。1983年一位年轻的德國數学家法尔廷斯证明了不定方程xnynzn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年獲得了數学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英國數学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随後發现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理還沒有得到數学界的一致公认，但大多數數学家认為他证明的思路是正確的。毫無疑问，这使人们看到了希望。 為了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的數学家们前赴後继，却壮志未酬。1995年，美國普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0頁长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成為整个數学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常簡单，它是用一个每个中学生都熟悉的數学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理說：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2Y2Z2。大约在公元1637年前後 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程時，他写下一个方程，非常類似于毕达哥拉斯方程：XnYnZn,当n 大于2時，这个方程沒有任何整數解。费马在《算术》这本書的靠近问题8的頁边處記下这 个結论的同時又写下一个附加的評註：“对此，我確信已發现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是數学史上着名的费马大定理或称费马最後的定理。费马製造了 一个數学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，還沒有任何问题可以叙述得如此簡单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一書中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成為數论中最 值得為之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英國剑桥，父亲是一位工程学教授。少年時代的怀尔斯 已着迷于數学了。他在後来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 編写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社區的圖書馆里發现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的圖書馆看见了一本書，这本書只有一个问题而沒有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的歷史，这个定理让一个又 一个的數学家望而生畏，在长达300多年的時间里沒有人能解决它。怀尔斯30多年後回忆 起被引向费马大定理時的感觉：“它看上去如此簡单，但歷史上所有的大數学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个時刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院獲得數学学士学位，之後進入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并沒有从事费马大定理研究。他說：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的時间而最终一事無成。我的導师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲線的Iwasawa理论，我開始跟随他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成數学学士荣誉学位第三部考試的学生，他催促我收其 為学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的數学家。当然，任何研究生在那个阶段直接開始研 究费马大定理是不可能的，即使对資歷很深的數学家来說，它也太困难了。”科茨的责任 是為怀尔斯找到某种至少能使他在今後三年里有兴趣去研究的问题。他說：“我认為研究 生導师能為学生做的一切就是設法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的數学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然後，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究數学中称為椭圆曲線的领域。这个决定成為怀尔斯职業生涯中的 一个轉折點，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位後来到了美國普林斯顿大学，并成為这所大学 的教授。在科茨的指導下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成為一 个着名的數论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和數学修养，证明费马 大定理的任務也是极為艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的數学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震動。我記得那个時刻，那个改变我生命歷程的時刻，因為 这意味着為了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的數学家大卫·希尔伯特為什么不去尝試证明费马大定理，他 回答說：“在開始着手之前，我必须用3年的時间作深入的研究，而我沒有那么多的時间 浪费在一件可能会失敗的事情上。”怀尔斯知道，為了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地進行研究。他說：“我意识到与费 马大定理有關的任何事情都会引起太多人的兴趣。你確实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的專心不被他人分散，而这一點会因旁觀者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理無直接關系的工作，任何時候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼書房里他開始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作為一个結果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界公布的時候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿研究所舉行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他選擇 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所舉行了20世纪最重要的一次數学讲座。两百名數学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代數式所表达 的意思。其余的人来这里是為了见证他们所期待的一个真正具有意义的時刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最後時刻的情景：“虽然新聞界已经刮起有關演讲的风 聲，很幸运他们沒有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲結束時的镜头，研究所所长肯 定事先就准備了一瓶香槟酒。当我宣读证明時，会场上保持着特別庄重的寂靜，当我写完 费马大定理的证明時，我說：‘我想我就在这里結束’，会场上爆發出一阵持久的鼓掌聲 。” 《纽约時報》在头版以《终于欢呼“我發现了!”，久远的數学之谜獲解》為题報道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成為世界上最着名的數学家，也是唯一的數 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家國际製衣大公司，他们邀請这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成為媒體報道的中心時，认真核对这个证明的工作也在進行。科学的程序要 求任何數学家将完整的手稿送交一个有聲望的刊物，然後这个刊物的編輯将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是進行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《數学發明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被發 现了。 我的心灵归于平靜 由于怀尔斯的论文涉及到大量的數学方法，編輯巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200頁的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以處理审稿人在電子邮件中提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他發现了 证明中的一个小缺陷。數学的绝对主义要求怀尔斯無可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以為这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，錯誤仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准備承认失敗。他向同事彼得·萨克說明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过 长時间的考虑後，怀尔斯决定邀請剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然沒有結果，他们准備放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最後一次檢查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯發现了问题的答案，他叙述了这一時刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以置信的發现。这是我的事業中最重要的時刻，我不会再有这样的经歷……它的美是如 此地难以形容；它又是如此簡单和优美。20多分钟的時间我呆望它不敢相信。然後白天我 到系里轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在——它還在那里。” 这是少年時代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130頁，是歷史上核查得最彻底的數学稿 件，它们發表在1995年5月的《數学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约時報》的头版 上，標题是《數学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨說：“用數学的术語来說，这个最 终的证明可与分裂原子或發现DNA的結构相比，对费马大定理的证明是人類智力活動的一 曲凯歌，同時，不能忽視的事实是它一下子就使數学發生了革命性的变化。对我說来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代數數论的巨大的一步。” 聲望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯獲得瑞典皇家学会颁發的Schock數学奖，199 6年，他獲得沃尔夫奖，并当選為美國科学院外籍院士。 怀尔斯說：“……再沒有別的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成年時期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经結束了， 我的心已归于平靜。” 费马大定理只有在相对數学理论的建立之後，才会得到最满意的答案。相对數学理论沒有完成之前，谈这个问题是無力地.因為人们对數量和自身的认识，還沒有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美國公众广播網对怀尔斯的專访 358年的难解之谜 數学爱好者费马提出的这个问题非常簡单，它用一个每个中学生都熟悉的數学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理說：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2Y2Z2。大约在公元1637年前後 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程時，他在《算术》这本書靠近问题8的頁边處写下了这段文字：“設n是大于2的正整數，则不定方程xnynzn沒有非整數解，对此，我確信已發现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在頁边写下猜想，费马大定理是其中困扰數学家们時间最长的，所以被称為Fermat’s Last Theorem（费马最後的定理）——公认為有史以来最着名的數学猜想。 在畅销書作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引發的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段歷史先後涉及到最多产的數学大师欧拉、最伟大的數学家高斯、由業余轉為职業數学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼試验大师库默尔和被誉為“法國歷史上知识最為高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法國數学天才伽罗瓦的遗言、日本數学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德國數学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最後一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝導演的宏大戏劇中的一幕，為最後谜底的解開埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿時的梦想。“我10岁時在圖書馆找到一本數学書，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却沒有人看到过它的证明，也無人確信是否有这个证明，从那以後，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然後歷史上诸多伟大的數学家们却不能解答。于是从那時起，我就試过解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先後在牛津大学和剑桥大学獲得數学学士和數学博士学位。“我進入剑桥時，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因為我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反複使用了130年。而这些技术似乎沒有触及问题根本。”因為担心耗费太多時间而一無所獲，他“暫時放下了”对费马大定理的思索，開始研究椭圆曲線理论——这个看似与证明费马大定理不相關的理论後来却成為他实现梦想的工具。 時间回溯至20世纪60年代，普林斯顿數学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要數学领域之间原本就存在着的統一的鏈接。如果这个猜想被证实，意味着在某个數学领域中無法解答的任何问题都有可能通过这种鏈接被轉换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再轉换到下一个數学领域中……直到它被解决為止。根據朗兰兹纲领，有一天，數学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游數学王國的各个风景胜地”。这个纲领為饱受哥德尔不完備定理打擊的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根據不完備定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯後来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝試——是现代數学诸多分支（椭圆曲線论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)綜合發挥作用的結果。20世纪50年代由两位日本數学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的數学岛屿间隱藏着一座沟通的桥梁。随後在1984年，德國數学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理為真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想鏈接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人類智力活動的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名數学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆說：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是靜悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一點暗示都沒有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾評价說：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的時间里沒有泄露任何有關工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反複的試錯和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作為一个結果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、異常激動、情绪失常……我記得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很熱烈，有很多數学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥時，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆說。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、聞所未聞的新思想，還有戏劇性的铺垫，充满悬念，直到最後到达高潮。”当怀尔斯在讲座結尾宣布他证明了费马大定理時，他成了全世界媒體的焦點。《纽约時報》在头版以《终于欢呼“我發现了!”久远的數学之谜獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）為题報道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成為世界上唯一的數学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。 与此同時，认真核对这个证明的工作也在進行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终結者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正錯誤，其间數度感到绝望。John Conway曾在美國公众广播網（PBS）的访谈中說: “当時我们其他人（怀尔斯的同事）的行為有點像‘苏联政體研究者’，都想知道他的想法和修正錯誤的進展，但沒有人開口问他。所以，某人会說，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月時，怀尔斯准備放弃了。但他临時邀請的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯發现了问题的答案，他叙述了这一時刻：“突然间，不可思议地，我發现了它……它美得难以形容，簡单而优雅。我对着它發了20多分钟呆。然後我到系里轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那里——它確实還在那里。” 怀尔斯的证明為他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥時的導师、着名數学家约翰·科茨的評价：“它（证明）是人類智力活動的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此結束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 歷時八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒體采访中，美國公众广播網（PBS）NOVA節目对怀尔斯的專访相当精彩有趣，本文節選部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来獲得工作上的支持，那么当你碰壁時是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住時我会沿着湖边散散步，散步的好處是使你会處于放松状态，同時你的潜意识却在继續工作。通常遇到困扰時你并不需要書桌，而且我随時把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我確实相信自己在正確的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目標——也许仅仅因為解决难题的方法超出现有的數学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正確的轨道上，我却可能生活在錯誤的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在書桌前思考最後的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的註意。它提到了一个19世纪的數学結构，我霎時意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘記下楼午饭，到下午三四點時我確信已经证明了费马大定理，然後下楼。Nada很吃惊，以為我这時才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最後的修正 NOVA：《纽约時報》在头版以《终于欢呼“我發现了!”，久远的數学之谜獲解》，但他们并不知道这个证明中有个錯誤。 怀尔斯：那是个存在于關键推導中的錯誤，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我無法用簡单的語言描述，就算是數学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：後来你邀請剑桥的數学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最後的錯誤。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150頁长，用的是20世纪的方法，在费马時代還不存在。 NOVA：那就是說费马的最初证明還在某个未被發现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他說已经找到解答了是在哄自己。这个难题对業余爱好者如此特別在于它可能被17世纪的數学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许還有數学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来說都一样，费马是我童年的熱望。我会再試其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我說“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的東西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年數学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲線(代數几何的对象)和模形式(某种數论中用到的周期性全纯函數)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个質數而E是一个Q(有理數域)上的一个椭圆曲線，我们可以簡化定义E的方程模p除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲線。然後考虑如下序列 ap np p, 这是椭圆曲線E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个數列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲線叫做模的。 谷山-志村定說: "所有Q上的椭圆曲線是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和統一數学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是關键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段時间和它联系在一起。尽管有明顯的用處，这个问题的深度在後来的發展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那時還是猜想)蕴含着费马最後定理的時候，它吸引到了不少註意力。他通过試圖表明费尔马大定理的任何范例会導致一个非模的椭圆曲線来做到这一點。Ken Ribet後来证明了这一結果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲線的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最後于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 數论中類似于费尔马最後定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:沒有立方可以写成两个互質n次幂的和, n 3. (n 3的情况已為欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都沒有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们還是被认為对最终完成的证明有着决定性影响。